FUNÇÃO DE 2 GRAU

A função do 2º grau, também denominada função quadrática, é definida pela expressão do tipo:   y = f(x) = ax² + bx + c, onde a, b e c são constantes reais e Exemplos: a) y=x²+3x+2 ( a=1; b=3; c=2 ) b) y=x² ( a=1; b=0; c=0 ) c) y=x²-4 ( a=1; b=0; c=-4 ) Gráfico de uma função do 2º grau:   O gráfico de uma função quadrática é uma parábola    Podemos visualizar uma parábola em um parque de diversões, simplesmente olhando para a montanha russa.      Sua representação gráfica é dada em torno de eixos:   Representação gráfica Exemplo: Construa o gráfico da função y=x²: [Sol] Como na função do 1º grau, basta atribuir valores reais para x, obtemos seus valores correspondentes para y.   x y = f(x) = x² -2 4 -1 1 0 0 1 1 2 4 3 9    Notem que os pontos: A e A`, B e B`, C e C` são simétricos (estão a mesma distância do eixo de simetria). O ponto V representa o vértice da parábola, é a partir dele que determinamos todos os outros pontos. Coordenadas do vértice    A coordenada x do vértice da parábola pode ser determinada por .    Exemplo: Determine as coordenada do vértice da parábola y=x²-4x+3 Temos: a=1, b=-4 e c=3 Logo, a coordenada x será igual a 2, mas e a coordenada y? Simples: Vamos substituir o valor obtido da coordenada x e determinar o valor da coordenada y. Assim, para determinarmos a coordenada y da parábola y=x²-4x+3, devemos substituir o valor de x por 2. y = (2)²-4.(2)+3 = 4-8+3=-1 Logo, as coordenadas do vértice serão V=(2,-1) Portanto, para determinarmos as coordenadas do vértice de uma parábola, achamos o valor da coordenada x (através de x=-b/2a) e substituindo este valor na função, achamos a coordenada y!!! Raízes (ou zeros) da função do 2º grau Denominam-se raízes da função do 2º grau os valores de x para os quais ela se anula. y=f(x)=0 Exemplo: na função y=x²-4x+3, que acima acabamos de determinar as coordenadas de seus vértices, as raízes da função serão x=1 e x`=3. Vejamos o gráfico: Notem que quando x=1 e x`=3, a parábola intercepta ("corta") o eixo x. Como determinar a raiz ou zero da função do 2º grau? Simplesmente aplicando a resolução de equações do 2º grau, já vista na seção anterior. Exemplo: determine a raiz da função y=x²+5x+6: Fazendo y=f(x)=0, temos x²+5x+6=0 Agora basta resolver a equação aplicando a fórmula de Bháskara. x²+5x+6=0 Acharemos que x = -2 e x` = -3. Concavidade da parábola Explicarei esta parte com um simples desenho. a>0 a<0 Os desenhos até que ficaram bonitinhos, mas isso não importa neste momento. O que nos importa agora é que quando a>0, a concavidade da parábola está voltada para cima (carinha feliz) e quando a<0, a parábola está voltada para baixo (carinha triste). Exemplos: y = f(x) = x² - 4 a = 1 >0 y = f(x) = -x² + 4 a = -1 < 0 [Nota] Quando a concavidade está voltada para cima (a>0), o vértice representa o valor mínimo da função. Quando a concavidade está voltada para baixo (a<0), o vértice representa o valor máximo. Quando o discriminante é igual a zero Quando o valor de , o vértice a parábola encontra-se no eixo x. A coordenada y será igual a zero. Exemplo: y=f(x)=x²+2x+1 x²+2x+1=0 x=x`=-b/2a=-1 As coordenadas do vértice serão V=(-1,0) Gráfico: Quando o discrimintante é maior que zero Quando o valor de , a parábola intercepta o eixo x em dois pontos. (São as raízes ou zeros da função vistos anteriormente). Exemplo: y = f(x) = x²-4x+3 x²-4x+3=0   x=1, x`=3 Gráfico: Quando o discriminante é menor que zero Quando o valor de , a parábola não intercepta o eixo x. Não há raízes ou zeros da função. Exemplo: y = f(x) = x²-x+2 x²-x+2=0 Gráfico: Resumindo: a>0 a>0 a>0 a<0 a<0 a<0 Esboçando o gráfico Para finalizarmos (ufa!), vamos desenhar o gráfico da função y=-x²-4x-3 1ª etapa: Raízes ou zeros da função -x²-4x-3=0 Aplicando a fórmula de Bháskara x=-1, x`=-3 2ª etapa: Coordenadas do vértice Coordenada x (=-b/2a): -(-4)/2.(-1)=-2 Coordenada y: Basta substituir o valor de x obtido na função y = -x²-4x-3 = -(-2)²-4.(-2)-3 = -4+8-3 = 1 Portanto, V=(-2,1) 3ª etapa: Concavidade da parábola y=-x²-4x-3 Como a=-1<0, a concavidade estará voltada para baixo Feito isso, vamos esboçar o gráfico:

TEOREMA DE PITÁGORAS

O Teorema de Pitágoras é considerado uma das principais descobertas da Matemática, ele descreve uma relação existente no triângulo retângulo. Vale lembrar que o triângulo retângulo pode ser identificado pela existência de um ângulo reto, isto é, medindo 90º. O triângulo retângulo é formado por dois catetos e a hipotenusa, que constitui o maior segmento do triângulo e é localizada oposta ao ângulo reto. Observe:

Catetos: a e b
Hipotenusa: c

O Teorema diz que: “a soma dos quadrados dos catetos é igual ao quadrado da hipotenusa.”

a² + b² = c²

Exemplo 1
Calcule o valor do segmento desconhecido no triângulo retângulo a seguir.

x² = 9² + 12²
x² = 81 + 144
x² = 225
√x² = √225
x = 15


Foi através do Teorema de Pitágoras que os conceitos e as definições de números irracionais começaram a ser introduzidos na Matemática. O primeiro irracional a surgir foi √2, que apareceu ao ser calculada a hipotenusa de um triângulo retângulo com catetos medindo 1. Veja:

x² = 1² + 1²
x² = 1 + 1
x² = 2
√x² = √2
x = √2

√2 = 1,414213562373....

Exemplo 2
Calcule o valor do cateto no triângulo retângulo abaixo:

x² + 20² = 25²
x² + 400 = 625
x² = 625 – 400
x² = 225
√x² = √225
x = 15



Exemplo 3
Um ciclista acrobático vai atravessar de um prédio a outro com uma bicicleta especial, percorrendo a distância sobre um cabo de aço, como demonstra o esquema a seguir:

Qual é a medida mínima do comprimento do cabo de aço?

Pelo Teorema de Pitágoras temos:

x² = 10² + 40²
x² = 100 + 1600
x² = 1700
x = 41,23 (aproximadamente)

PRÉ- REQUISITOS DOS ASSUNTOS ABORDADOS:

EQUAÇÕES IRRACIONAIS:

As quatro operações, potência, simplificação com radicais, operações com radicais, equações do primeiro e segundo graus e soma e produto dessas raízes, noções de função e zero da função. 

SOMA E PRODUTO DAS RAÍZES: 

Equação do 2 grau, as quatro operações.

EQUAÇÃO BIQUADRADA: 

Equação do 2 grau, fórmula de báskara e delta, raiz quadrada, as quatro operações, produtos notáveis.

EQUAÇÕES FRACIONÁRIAS REDUTÍVEIS A UMA EQUAÇÃO DO 2 GRAU:

Fórmula de báskara e delta, as quatro operações, raiz quadrada, distributiva, m.m.c.

SEGMENTOS PROPORCIONAIS:

Multiplicação e divisão.

TEOREMA DE TALES:

Segmentos proporcionais, multiplicação e divisão.

CONSEQÜÊNCIAS DO TEOREMA DE TALES:

Segmentos proporcionais, teorema de tales, multiplicação e divisão.

SEMELHANÇA DE TRIÂNGULOS:

Segmentos proporcionais, teorema de tales, conseqüências do teorema de tales, multiplicação e divisão.

TRIGONOMETRIA NO TRIÂNGULO RETÂNGULO:

Racionalização de denominadores, multiplicação e divisão, fração.