SOMA E PRODUTO DAS RAÍZES

Existem duas fórmulas, que nos permitem calcular a soma e produto das raízes de uma equação do 2º grau, sem ter que passar pelo cálculo de Δ, Bháskara, , , etc. Para utilizarmos esta fórmula, basta sabermos identificar quem são e .










Vamos utilizar as fórmulas nas equações abaixo:
Ex.:


Ex.:



Ex.:


Ex.:

SEGMENTOS PROPORCIONAIS

Proporção é a igualdade entre duas razões equivalentes. De forma semelhante aos que já estudamos com números racionais, é possível eatabelecer a proporcionalidade entre segmentos de reta, através das medidas desse segmentos. Vamos considerar primeiramente um caso particular com quatro segmentos de reta:

m(AB)=2 cm	A ______ B	P __________ Q	m(PQ)=4 cm
m(CD)=3 cm	C __________ D	R ___________________ S	m(RS)=6 cm

A razão entre os segmentos AB e CD e a razão entre os segmentos PQ e RS, são dadas por frações equivalentes, isto é:

AB/CD = 2/3
PQ/RS = 4/6 e como 2/3 = 4/6, segue a existência de uma proporção entre esses quatro segmentos de reta. Isto nos conduz à definição de segmentos proporcionais.
Diremos que quatro segmentos de reta, AB, BC, CD e DE, nesta ordem, são proporcionais se:

AB/BC = CD/DE Os segmentos AB e DE são os segmentos extremos e os segmentos BC e CD são os segmentos meios.
A proporcionalidade acima é garantida pelo fato que existe uma proporção entre os números reais que representam as medidas dos segmentos:

m(AB)		m(CD)
	=
m(BC)		m(DE)

Propriedade Fundamental das proporções: Numa proporção de segmentos, o produto das medidas dos segmentos meios é igual ao produto das medidas dos segmentos extremos.

m(AB) . m(DE) = m(BC) . m(CD)

RETAS PARALELAS CORTADAS POR UMA TRANVERSAL

De acordo com Tales de Mileto, quando um feixe de retas paralelas for cortado por duas ou mais transversais, todos os segmentos formados nessas transversais serão proporcionais.

Transversal é o nome dado à reta que cruza as retas paralelas.
OBS: Pode haver mais de 1 transversal.

TEOREMA DE TALES

O Teorema de Tales possui diversas aplicações no cotidiano, constituindo uma importante ferramenta da Geometria no cálculo de distâncias inacessíveis e nas relações envolvendo semelhança entre triângulos.

Exemplos:
Calcule o comprimento da ponte que deverá ser construída sobre o rio, de acordo com o esquema a seguir.



De acordo com a figura temos um triângulo ABC e o segmento DE dividindo o triângulo, sendo formado o triângulo ADE. As informações que temos são as medidas dos seguintes segmentos: AD = 10m, AE = 9m, EC = 18m e DB = x. O valor de DB será determinado através do Teorema de Tales que diz: “retas paralelas cortadas por transversais formam segmentos proporcionais.” Desse modo, podemos estabelecer a seguinte relação:




Portanto, a ponte terá 20 metros de comprimento.

EQUAÇÕES IRRACIONAIS

Vamos falar um pouco sobre Equações irracionais:

Antes de resolver uma equação assim temos que saber alguns assuntos que podemos chamar de pré-requisitos, e são eles: As quatro operações, potência, simplificação com radicais, operações com radicais, equações do primeiro e segundo graus e soma e produto dessas raízes, noções de função e zero da função. Depois de estudar esses assuntos fica muito fácil resolver uma equação irracional.

Equação irracional é aquela que no radical, nós encontramos uma incógnita, ou seja, uma letra.

Ex: √x = 15

Agora vamos ver como resolver uma equação irracional:

√x+3 = x-3

(√x+3)² =(x+3)² -->Iguala a potencia de acordo com o indice da raiz.

x+3 = x²-6x+9 -->Iguala a raiz a zero,reduzindo os termos.

x²-7x+6 = 0 -->Resolve fazendo a formula de Baskara.

Δ =(-7)² - 4.1.6

Δ =49 - 24

Δ =25

x= 7 ±√25 = x¹ = 7+5 = 12 = 6

2 x² = 7-5 = 2 = 1

Agora substitua o x por 6 e 1

√6+3 = 6-3 √1+3 = 1-3 {6}

√9 = 3 √ 4 = -2

3 = 3 CORRETO 2 = -2 FALSO

RESOLVENDO UMA EQUAÇÃO IRRACIONAL

Exemplo 1



1º passo: isolar o radical


2º passo: elevar os dois membros da equação ao quadrado


3º passo: organizar a equação
x2 - 10x +25 – x – 7 = 0
x2 - 11x + 18 = 0

4º passo: resolver a equação x2 - 11x + 18 = 0, aplicando o teorema de Bháskara.


∆ = (-11)2 - 4 * 1 * 18
∆ = 121 - 72
∆ = 49

x’ = (11+7)/2 = 9

x” = (11 – 7)/2 = 2

5º passo: substituir as raízes na equação original e verificar a igualdade.

x = 9

Portanto, 9 não serve.

x = 2

A única solução da equação é 2.

SISTEMA DE EQUAÇÃO DO 2º GRAU COM DUAS INCÓGNITAS

A resolução de um sistema de duas equações com duas variáveis consiste em determinar um par ordenado que torne verdadeiras, ao mesmo tempo, essas equações.


ex: {x-y= 1 I
{x²+y²= 6 II
x= 1+y III

Utilizamos o método da substituição

=> Substituindo III em II
(1+y)²+y²=5
(1)²+2.(1).(y)+(y)²+y²=5
1+2y+y²+y²-5=0
2y²+2y-4=0


=> Formou-se uma equação do 2º grau. Então, resolvemos.
∆= (2)²-4.(2).(-4)
∆= 4+32
∆= 36
y= -2±√36 : 2.2


y¹= -2+6 : 4

y¹= 4:4

y¹= 1


y²= -2-6 :4

y²= -8 : 4

y²= -2


=> Substituimos y¹= 1 na incógnita I

x-(1)= 1

x-1= 1

x= 1+1

x= 2


=> Substituimos y²= -2 na incógnita I

x-(-2)= 1

x+2= 1

x= 1-2

x= -1


S= {2, 1; -1, -2}

(Enquanto x= 2, y= 1; enquanto x= -1, y= -2)

EQUAÇÕES BIQUADRADAS

Toda equação tem uma forma geral que a representa, as equações biquadradas possuem a seguinte forma:

ax4 + bx2 + c = 0

Sendo que a, b e c podem assumir qualquer valor real desde que a seja diferente de zero. Veja alguns exemplos de equações biquadradas.

2x4 + 5x2 – 2 = 0; a = 2, b = 5, c = -2

-x4 – x = 0; a = -1, b = -1, c = 0

x4 = 0; a = 1, b = 0, c = 0

Observando as equações biquadradas percebemos uma de suas características: são equações onde os expoentes das suas incógnitas são sempre pares.

Para resolver esse tipo de equação é preciso substituir as incógnitas, tornando-a uma equação do segundo grau, veja os exemplos abaixo e compreenda como resolver passo a passo uma equação biquadrada.

Exemplo:

Resolva a equação biquadrada (x2 – 1) (x2 – 12) + 24 = 0. Devemos organizá-la primeiro, ou seja, tirar os parênteses e unir os termos semelhantes.

(x2 – 1) (x2 – 12) + 24 = 0
x4 – 12x2 – x2 + 12 + 24 = 0
x4 – 13x2 + 36 = 0

Agora devemos substituir a incógnita x2 por y.

x2 = y

x4 – 13x2 + 36 = 0
x2 . x2 – 13x2 + 36 = 0

y2 – 13y + 36 = 0

Resolvendo essa equação do segundo grau encontraremos como resultados de y’ e y’’ respectivamente os valores 9 e 4, como a incógnita da equação biquadrada é x, substituímos os valores de y na igualdade x2 = y e obteremos os respectivos valores de x.

Para y = 9
x2 = y
x2 = 9
x = ±√9
x = ± 3

Para y = 4
x2 = y
x2 = 4
x = ±√4
x = ±2

Portanto, a solução dessa equação biquadrada será {-3, -2, 2, 3}.